Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

26.07.202321.09.2023 Степан

Время чтения 4 минуты

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой $\alpha$ .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла $\alpha$ , называется противолежащим (по отношению к углу $\alpha$ ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла $\alpha$ , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\cos A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle b}{\displaystyle c}

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sin A}{\displaystyle \cos A}

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \cos A}{\displaystyle \sin A}

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$ . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa $90^{\circ}$ .
С одной стороны, $\sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, $\cos B =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}$ , поскольку для угла $\beta$ катет а будет прилежащим.Получаем, что $\cos \beta =\sin \alpha$ . Иными словами, $\cos \left( 90^{\circ}-A \right) = \sin A$ .
Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на $\cos^2 A$ : $\sin^2 A +\cos^2 A=1$ Мы получили основное тригонометрическое тождество.
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на $\cos^2 A$ , получим: $1+tg ^2 A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \cos ^2 A }$ Это значит, что если нам дан тангенс острого угла $\alpha$ , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
$1+ctg ^2 A =\genfrac{}{}{}{0}{1}{\sin ^2 A }$

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$ .

$\varphi$	0	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$
$sin\mkern 2mu\varphi$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos\mkern 2mu\varphi$		$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$tg\mkern 2mu\varphi$	0	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}$		$\sqrt{3}$	−
$ctg\mkern 2mu\varphi$	−	$\sqrt{3}$		$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}$	0

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен $90^{\circ}$ , $\sin A = 0,1$ . Найдите $\cos B$ .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку $A+B = 90^{\circ}$ , $\sin A = \cos B = 0,1$ .

2. В треугольнике угол равен $90^{\circ}$ , , $\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}$ . Найдите .

Имеем:

\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle AB} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}

Отсюда

BC= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25} \cdot AB = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}

Найдем по теореме Пифагора.

AC=\sqrt{AB^2-BC^2} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 24}{\displaystyle 5} = 4,8

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами $90^{\circ},\, 30^{\circ}$ и $60^{\circ}$ или с углами $90^{\circ},\, 45^{\circ}$ и $45^{\circ}$ . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!