Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.
- Вот что мы видим на этом рисунке:Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит
градусов, или
радиан.
- Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси
, а значение синуса — на оси
.
- И синус, и косинус принимают значения от
до
.
- Значение тангенса угла
тоже легко найти — поделив
на
. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
- Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
- Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
- Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен
.
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и
, в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.
Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами
отвечает углу в
, точка с координатами
— углу в
. Каждому углу от нуля до
градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу
.
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу
.
Например:
;
;
;
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината
. Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от
до
:
,
.
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по
(это косинус угла
) и по
(это синус угла
).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует
радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в
, который отложили от положительного направления оси
по часовой стрелке.
Легко заметить, что
,
.
Углы могут быть и больше градусов. Например, угол
— это два полных оборота по часовой стрелке и еще
. Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по
и по
, значения синуса и косинуса повторяются через
. То есть:
,
,
где — целое число. То же самое можно записать в радианах:
,
.
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,
,
.
В результате получим следующую таблицу.
0 | |||||||||
0 | не существует | 0 | |||||||
не существует | 0 | не существует |