Задание 10 ЕГЭ по математике. Теория вероятностей. Повышенный уровень сложности

Степан
  Время чтения 12 минут

В 2022 году в варианты ЕГЭ по математике добавились новые задачи по теории вероятностей. По сравнению с теми, которые раньше были в варианте, это повышенный уровень сложности.

Мы разберем задачу №10 из Демоверсии ЕГЭ-2022, задания из Методических рекомендаций ФИПИ для учителей и аналогичные им.

1. Демо-версия ЕГЭ-2022

Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало

6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

Решение:

Выпишем возможные исходы как тройки чисел так, чтобы в сумме получилось 6.

Задание 10 ЕГЭ по математике. Теория вероятностей. Повышенный уровень сложности

Всего 10 возможных исходов. Благоприятные исходы помечены красным цветом, их 6.

По определению вероятности получаем p = 6 : 10 = 0,6.

2. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.

Решение:

Выпишем возможные варианты получения 8 очков в сумме:

Подходит только вариант 5; 3. Вероятность этого события равна 1 : 5 = 0,2 (один случай из 5 возможных).

Ответ: 0,2

3. В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение:

Благоприятными будут следующие исходы:

Первый раз – вытащили красный фломастер,

И второй раз – красный,

А третий раз – синий.

Вероятность вытащить красный фломастер (которых в ящике 4) равна \displaystyle \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

После этого в ящике остается 5 фломастеров, из них 3 красных, вероятность вытащить красный равна \displaystyle \frac{3}{5}

Наконец, когда осталось 4 фломастера и из них 2 синих, вероятность вытащить синий равна \displaystyle \frac{1}{2}.

Вероятность события {красный – красный – синий } равна произведению этих вероятностей, то есть

\displaystyle \frac{2}{3} \cdot\frac{3}{5} \cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{5} = 0,2

Ответ: 0,2

4. В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение:

Всего в коробке 25 фломастеров.

В условии не сказано, какой из фломастеров вытащили первым – красный или синий.

Предположим, что первым вытащили красный фломастер. Вероятность этого \displaystyle \frac{9}{25}, в коробке остается 24 фломастера, и вероятность вытащить вторым синий равна \displaystyle \frac{10}{24}. Вероятность того, что первым вытащили красный, а вторым синий, равна \displaystyle \frac{9}{25} \cdot \frac{10}{24}=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{20}.

А если первым вытащили синий фломастер? Вероятность этого события равна \displaystyle \frac{10}{25} = \frac{2}{5}. Вероятность после этого вытащить красный равна \displaystyle\frac{9}{24} = \frac{3}{8}, вероятность того, что синий и красный вытащили один за другим, равна \displaystyle\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{20}.

Значит, вероятность вытащить первым красный, вторым синий или первым синий, вторым красный равна \displaystyle\frac{3}{20} + \frac{3}{20} = 0,3.

А если их доставали из коробки не один за другим, а одновременно? Вероятность остается такой же: 0,3. Потому что она не зависит от того, вытащили мы фломастеры один за другим, или с интервалом в 2 секунды, или с интервалом в 0,5 секунды… или одновременно!

Ответ: 0,3.

5. При подозрение на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.

Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение:

Уточним условие: «Какова вероятность того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание?». В такой формулировке множество возможных исходов — это число пациентов с положительным результатом ПЦР-теста, причем только часть из них действительно заболевшие.

Пациент приходит к врачу и делает ПЦР-тест. Он может быть болен этим заболеванием – с вероятностью х. Тогда с вероятностью 1 – х он этим заболеванием не болен.

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:

а) пациент болеет заболеванием, которое нельзя называть, его анализ верен; событие А,

б) пациент не болен этим заболеванием, его анализ ложно-положительный, событие В.

Это несовместные события, и вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.

Имеем:

P(A)=0,86x
P(B)=0,06 \cdot (1-x)
P(A+B)=P(A)+P(B)=0,86x+0,06(1-x)=0,1.

Мы составили уравнение, решив которое, найдем вероятность x.

x=0,05.

Что такое вероятность х? Это вероятность того, что пациент, пришедший к доктору, действительно болен. Здесь множество возможных исходов — это количество всех пациентов, пришедших к доктору.

Нам же нужно найти вероятность z того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание. Вероятность этого события равна 0,05 \cdot 0,86 (пациент болен и ПЦР-тест выявил заболевание, произведение событий). С другой стороны, эта вероятность равна 0,1 \cdot z (у пациента положительный результат ПЦР-теста, и при выполнении этого условия он действительно болен).

Получим: 0,05 \cdot 0,86 = 0,1 \cdot z отсюда z = 0,43.

Ответ: 0,43

Вероятность того, что пациент с положительным результатом ПЦР-теста действительно болен, меньше половины!

Кстати, это реальная проблема для диагностики в медицине, то есть в задаче отражена вполне жизненная ситуация.

6. Телефон передает sms-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой следующей попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше 2 попыток.

Решение:

Здесь все просто. Либо сообщение удалось передать с первой попытки, либо со второй.

Вероятность того, что сообщение удалось передать с первой попытки, равна 0,4.

С вероятностью 0,6 с первой попытки передать не получилось. Если при этом получилось со второй, то вероятность этого события равна 0,6 \cdot 0,4.

Значит, вероятность того, что для передачи сообщения потребовалось не более 2 попыток, равна 0,4 + 0,4 \cdot 0,6 = 0,4 \cdot (1+0,6) = 0,64

Ответ: 0,64

7. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

А это более сложная задача. Можно, как и в предыдущих, пользоваться определением вероятности и понятиями суммы и произведения событий. А можно применить формулу Бернулли.

Формула Бернулли:

– Вероятность P^m_n того, что в n независимых испытаниях некоторое случайное событие A наступит ровно m раз, равна:

P^m_n = C^m_n p^m q^{n-m}, где

p – вероятность появления события A в каждом испытании;

q=1-p – вероятность появления события A в каждом испытании

Коэффициент C^m_n часто называют биномиальным коэффициентом.

\displaystyle C^m_n = \frac{n!}{m!(n-m)!}

Нет, это не заклинание. Не нужно громко кричать: Эн!!!! Поделить на эм! И на эн минус эм! То, что вы видите в формуле, – это не восклицательные знаки. Это факториалы. На самом деле все просто: n! (читается: эн факториал) – это произведение натуральных чисел от 1 до n. Например,

6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6

Пусть вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна \displaystyle\frac{1}{2}, вероятность решки тоже \displaystyle \frac{1}{2}. Давайте посчитаем вероятность того, что из 10 бросков монеты выпадет ровно 5 орлов.

\displaystyle P_1=C_{10}^5\left ( \frac{1}{2} \right )^5\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^5=\frac{10!}{5!\cdot 5!\cdot 2^{10}}

Вероятность выпадения ровно 4 орлов равна

\displaystyle P_2=C_{10}^4\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^4\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^6=\frac{10!}{4!\cdot 6!\cdot 2^{10}}

Найдем, во сколько раз P_1 больше, чем P_2.

\displaystyle \frac{P_1}{P_2}=\frac{10!\cdot 4!\cdot 6!\cdot 2^{10}}{5!\cdot 5!\cdot 2^{10}\cdot 10!}=\frac{4!}{5!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5}=
\displaystyle =\frac{6}{5} = 1,2

Ответ: 1,2

8. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?

Решение:

Стрелок поражает мишень с первого или со второго выстрела;

Вероятность поразить мишень равна

0,6+0,4 \cdot 0,6 = 0,84

Вероятность поразить 5 мишеней из 5 равна 0,84^5 = P_1.

Вероятность поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:

\displaystyle P_2=C_{5}^{4}\cdot 0,84^{4}\cdot 0,16=\frac{5!\; 0,84^4 \cdot 0,16}{4!}=5\cdot 0,84^4 \cdot 0,16
\displaystyle \frac{P_1}{P_2} = \frac{0,84^5}{5 \cdot 0,84^4 \cdot 0,16}= \frac{0,84}{0,8}=1,05

9. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 2 мишени»?

Решение:

Найдем вероятность поразить одну мишень – с первого или со второго выстрела.

С вероятностью \displaystyle \frac{1}{2} стрелок поражает мишень первым выстрелом (и больше по ней не стреляет).

Найдем вероятность того, что стрелок поразит мишень вторым выстрелом. Она равна \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, так как с вероятностью \displaystyle \frac{1}{2} он промахнулся в первый раз и с вероятностью \displaystyle \frac{1}{2} второй выстрел был удачным.

Значит, вероятность поразить одну мишень первым или вторым выстрелом равна \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}.

Теперь нам на помощь придет формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно 3 мишени из 5.

\displaystyle P_1=P^3_5=C^3_5 \cdot \left ( \frac{3}{4} \right )^3 \cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^2 = \frac{5!}{3!\ 2!} \cdot \frac{3^3}{4^5}

Вероятность поразить ровно 2 мишени из пяти

\displaystyle P_2=P^2_5=C^2_5 \cdot \left ( \frac{3}{4} \right )^2\cdot \left( \frac{1}{4} \right )^3 = \frac{5!}{3!\ 2!} \cdot \frac{3^2}{4^5}

Заметим, что C^3_5 = C^2_5.

Получим:

\displaystyle \frac{P_1}{P_2} = \frac{3^3 \cdot 4^5}{4^5 \cdot 3^2} = 3

Ответ: 3.

10. Стрелок в тире стреляет по мишени. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,3 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать этому стрелку, чтобы вероятность поражения цели была не менее 0,6?

Решение:

Похожие задачи были в Банке заданий ФИПИ и раньше. Пусть у стрелка есть n патронов. Стрелок может поразить цель первым, вторым … n-ным выстрелом, и все эти исходы для нас благоприятны. Не подходит только один исход – когда стрелок n раз стрелял и каждый раз был промах.

Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 – 0,3 = 0,7.

Вероятность n промахов (из n выстрелов) равна 0,7^n, а вероятность попасть с первого раза или сто второго … или с n-ого выстрела равна 1-0,7^n.

По условию, 1-0,7^n \geq 0,6

0,7^n \leq 0,4

Если n = 2, то 0,7^2 = 0,49 – не подходит;

Для n=3 условие выполнено, 0,7^3 = 0,343 \textless 0,4;

Хватит 3 патронов.

Ответ: 3.

11. Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысит число 3. Какова вероятность того, что для этого потребуется ровно 3 броска? Ответ округлите до сотых.

Решение:

Кажется, что задача сложная (на самом деле нет).

Давайте подумаем: как получилось, что ровно за 3 броска игральной кости сумма выпавших очков оказалась больше трех? Из этого следует, что за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3 или равна 3.

Если за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3, значит, она была равна 2, то есть первый раз выпала единица и второй раз тоже единица. Вероятность этого события равна \displaystyle \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}.

Сколько же очков в этом случае должен дать третий бросок? Очевидно, что подойдет 2, 3, 4, 5, 6 – все, кроме 1. Вероятность того, что при третьем броске выпадет число очков, не равное единице, равна \displaystyle \frac{5}{6}.

Значит, вероятность того, что при первых двух бросках выпали единицы, а при третьем – не единица, равна \displaystyle \frac{5}{216}.

Нам подойдет также случай, когда сумма очков за первые 2 броска равна 3. Это значит, что выпали 2 и 1 или 1 и 2, то есть 2 благоприятных исхода из 36 возможных. Вероятность этого события равна \displaystyle \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.

При этом нам все равно, что выпадет при третьем броске: очевидно, что сумма очков при трех бросках будет больше трех.

Окончательно получаем: \displaystyle \frac{5}{216} + \frac{1}{18} = \frac{17}{216} \approx 0,08

Ответ: 0,08

Вот еще одна задача из Демо-версии ЕГЭ-2022:

12. В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Решение:

Пусть N – численность взрослого населения в городе (мужчин и женщин).

Количество взрослых мужчин в городе: 0,48N

Количество женщин в городе: 0,52N

Из них 0,15 * 0,52N = 0,078N женщин-пенсионеров,

Всего пенсионеров 0,126N,

Тогда количество мужчин-пенсионеров равно 0,126N – 0,078N = 0,048N.

Вероятность для случайно выбранного мужчины оказаться пенсионером равна отношению числа мужчин-пенсионеров к числу мужчин в городе, то есть 0,048 N : 0,48N = 0,1.

Ответ. 0,1.